【MIT线性代数】【lec1】 线性方程组的几何与代数视角

线性代数第一讲：线性方程组的几何与代数视角

一、课程介绍

• 课程名称：18.06 线性代数
• 教材：《Introduction to Linear Algebra》
• 课程网址：web.mit.edu/18.06
• 主讲人：Gilbert Strang

二、线性方程组的两种视角

1. 行视角（Row Picture）

• 定义：逐行考虑方程组，每行对应一个方程，表示为平面上的一条直线（二维）或空间中的一个平面（三维）。
• 示例：
  • 二维情况：
    • 方程组：

$$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}$$

• 行视角：

  • 第一行 $2x - y = 0$ 表示一条通过原点的直线。
  • 第二行 $-x + 2y = 3$ 表示另一条直线。
  • 两条直线的交点即为方程组的解。

• 解：交点为 $(1, 2)$。

• 三维情况：

  • 方程组：

$$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ -x + 2y - z = -1 \\ -3y + 4z = 4 \end{cases}$$

- **矩阵形式**：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$

• 行视角：
  • 每个方程表示一个平面。
  • 三个平面的交点即为方程组的解。
• 解：交点为 $(0, 0, 1)$。

2. 列视角（Column Picture）

• 定义：从列向量的角度考虑方程组，将方程组表示为列向量的线性组合。
• 示例：
  • 二维情况：
    • 方程组：

$$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ -x + 2y = 3 \end{cases}$$

- **列视角**：
  - 方程组可以表示为：

$$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$

  - **解**：找到合适的 $x$ 和 $y$，使得两个列向量的线性组合等于 $\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$。
  - **解**：$(1, 2)$。

• 三维情况：
  • 方程组：

$$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ -x + 2y - z = -1 \\ -3y + 4z = 4 \end{cases}$$

- **列视角**：
  - 方程组可以表示为：

$$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$

  - **解**：找到合适的 $x, y, z$，使得三个列向量的线性组合等于 $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$。
  - **解**：$(0, 0, 1)$。

三、矩阵形式（Matrix Form）

• 定义：将线性方程组表示为矩阵乘法的形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$。
• 示例：
  • 二维情况：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$

• 三维情况：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$

四、线性组合（Linear Combination）

• 定义：将向量通过标量乘法和加法组合起来。
• 示例：
  • 二维情况：
    • $x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$
  • 三维情况：
    • $x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}$

五、矩阵乘法

• 定义：矩阵 $A$ 乘以向量 $\mathbf{x}$ 的结果是一个向量，表示 $A$ 的列向量的线性组合。
• 计算方法：
  • 按列计算：将 $\mathbf{x}$ 的每个分量乘以 $A$ 的对应列向量，然后相加。
    • 注意是在列上的分量
  • 按行计算：将 $A$ 的每一行与 $\mathbf{x}$ 进行点积（dot product）。

示例

• 矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

• 计算：
  • 按列计算：

$$1 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix}$$

• 按行计算：

$$\begin{bmatrix} 2 & 5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 12, \quad \begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 7$$

六、解的存在性

• 问题：对于任意的 $\mathbf{b}$，是否存在解 $\mathbf{x}$ 使得 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$？
• 条件：矩阵 $A$ 的列向量是否能通过线性组合生成整个空间