【MIT线性代数】【lec3】矩阵乘法与逆矩阵

线性代数第三讲：矩阵乘法与逆矩阵

一、矩阵乘法

1. 标准乘法规则

• 定义：矩阵 $A$ 乘以矩阵 $B$ 得到矩阵 $C$。
• 元素计算：矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积。

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$$

• 示例：计算 $C_{34}$：

$$C_{34} = a_{31} b_{14} + a_{32} b_{24} + \dots + a_{3n} b_{n4}$$

2. 矩阵乘法的形状

• 矩阵形状：
  • $A$ 是 $m \times n$ 矩阵。
  • $B$ 是 $n \times p$ 矩阵。
  • $C$ 是 $m \times p$ 矩阵。
• 条件：$A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数。

3. 矩阵乘法的不同视角

（1）按列计算

• 方法：矩阵 $A$ 乘以矩阵 $B$ 的每一列，得到矩阵 $C$ 的每一列。
• 示例：

$$A \times \text{列}_1(B) = \text{列}_1(C)$$

$$A \times \text{列}_2(B) = \text{列}_2(C)$$

• 结论：矩阵 $C$ 的每一列是矩阵 $A$ 的列向量的线性组合。

（2）按行计算

• 方法：矩阵 $A$ 的每一行乘以矩阵 $B$，得到矩阵 $C$ 的每一行。
• 示例：

$$\text{行}_1(A) \times B = \text{行}_1(C)$$

$$\text{行}_2(A) \times B = \text{行}_2(C)$$

• 结论：矩阵 $C$ 的每一行是矩阵 $B$ 的行向量的线性组合。

（3）按列乘以行

• 方法：矩阵 $A$ 的每一列乘以矩阵 $B$ 的每一行，然后求和。
• 示例：

$$C = \text{列}_1(A) \times \text{行}_1(B) + \text{列}_2(A) \times \text{行}_2(B) + \dots$$

• 结论：矩阵 $C$ 是多个矩阵的和，每个矩阵由 $A$ 的一列和 $B$ 的一行相乘得到。

（4）分块矩阵乘法

• 方法：将矩阵 $A$ 和 $B$ 分成块，然后按块进行乘法。
• 示例：

$$\begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1B_1 + A_2B_3 & A_1B_2 + A_2B_4 \\ A_3B_1 + A_4B_3 & A_3B_2 + A_4B_4 \end{bmatrix}$$

二、逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

• 定义：如果矩阵 $A$ 存在一个矩阵 $A^{-1}$，使得 $A^{-1}A = I$ 和 $AA^{-1} = I$，则 $A^{-1}$ 是 $A$ 的逆矩阵。
• 性质：对于方阵，左逆矩阵等于右逆矩阵。

2. 逆矩阵的存在性

• 条件：矩阵 $A$ 必须是方阵且行列式不为零。
• 示例：
  • 不可逆矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$$

行列式为零，因此不可逆。

• 可逆矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$$

行列式不为零，因此可逆。

3. 逆矩阵的计算

（1）高斯-若尔当消元法

• 方法：将矩阵 $A$ 与单位矩阵 $I$ 拼接成增广矩阵 $[A | I]$，通过行操作将 $A$ 化为单位矩阵 $I$，此时 $I$ 变为 $A^{-1}$。
• 示例：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$$

增广矩阵：

$$[A | I] = \begin{bmatrix} 1 & 3 & | & 1 & 0 \\ 2 & 7 & | & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

• 第一步：从第二行减去两倍的第一行：

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & -2 & 1 \end{bmatrix}$$

• 第二步：从第一行减去三倍的第二行：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 7 & -3 \\ 0 & 1 & | & -2 & 1 \end{bmatrix}$$

• 结果：

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$$

4. 逆矩阵的验证

• 方法：验证 $A^{-1}A = I$。
• 示例：

$$A^{-1}A = \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

三、总结

• 矩阵乘法：
  • 标准方法：按元素计算。
  • 按列计算：矩阵 $C$ 的列是矩阵 $A$ 的列的线性组合。
  • 按行计算：矩阵 $C$ 的行是矩阵 $B$ 的行的线性组合。
  • 按列乘以行：矩阵 $C$ 是多个矩阵的和。
  • 分块矩阵乘法：按块进行乘法。
• 逆矩阵：
  • 定义：满足 $A^{-1}A = I$ 和 $AA^{-1} = I$。
  • 存在性：矩阵 $A$ 必须是方阵且行列式不为零。
  • 计算方法：高斯-若尔当消元法。
  • 验证：验证 $A^{-1}A = I$。