【MIT线性代数】【lec5】置换矩阵、转置矩阵与向量空间

线性代数第五讲：置换矩阵、转置矩阵与向量空间

一、置换矩阵（Permutations）

1. 置换矩阵的定义

• 定义：置换矩阵 $P$ 是通过交换单位矩阵 $I$ 的行得到的矩阵。
• 性质：
  • 置换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 $P^{-1} = P^T$。
  • 置换矩阵的乘积仍然是置换矩阵。
  • 置换矩阵的数量为 $n!$，其中 $n$ 是矩阵的维度。

2. 置换矩阵的作用

• 作用：在高斯消元法中，如果主元位置出现零，需要通过行交换将非零元素移到主元位置。
• 示例：
  • 3×3 置换矩阵：

$$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

该矩阵交换了第一行和第二行。

• 4×4 置换矩阵：

$$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

该矩阵交换了第一行和第二行，同时交换了第三行和第四行。

3. 置换矩阵与矩阵分解

• 矩阵分解：如果需要行交换，则矩阵分解形式为 $PA = LU$。
  • $P$ 是置换矩阵。
  • $L$ 是下三角矩阵。
  • $U$ 是上三角矩阵。

二、转置矩阵（Transposes）

1. 转置矩阵的定义

• 定义：矩阵 $A$ 的转置 $A^T$ 是将 $A$ 的行变为列，列变为行得到的矩阵。
• 性质：
  • $(A^T)^T = A$
  • $(AB)^T = B^T A^T$

2. 对称矩阵（Symmetric Matrices）

• 定义：如果矩阵 $A$ 满足 $A^T = A$，则称 $A$ 为对称矩阵。
• 示例：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}$$

该矩阵满足 $A^T = A$。

3. 对称矩阵的性质

• 性质：对称矩阵的转置仍然是其本身。
• 示例：
  • 对称矩阵的构造：如果 $R$ 是一个矩形矩阵（如 $3 \times 2$），则 $R^T R$ 是对称矩阵。

$$R = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}, \quad R^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$$

$$R^T R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \\ 4 & 8 & 16 \end{bmatrix}$$

该矩阵是对称的，因为 $(R^T R)^T = R^T R$。

三、向量空间（Vector Spaces）

1. 向量空间的定义

• 定义：向量空间是一组向量的集合，满足以下条件：
  • 可以进行向量加法。
  • 可以进行数乘（标量乘法）。
  • 满足加法和数乘的封闭性（即结果仍在该空间内）。

2. 向量空间的示例

• 示例 1：$\mathbb{R}^2$ 是所有二维向量的集合。
  • $\mathbb{R}^2$ 是一个向量空间，因为可以进行加法和数乘。
• 示例 2：$\mathbb{R}^3$ 是所有三维向量的集合。
  • $\mathbb{R}^3$ 是一个向量空间。
• 示例 3：$\mathbb{R}^n$ 是所有 $n$ 维向量的集合。
  • $\mathbb{R}^n$ 是一个向量空间。

3. 子空间（Subspaces）

• 定义：子空间是向量空间的一个子集，满足向量空间的所有性质。
• 示例：
  • $\mathbb{R}^2$ 的子空间：
    • 整个 $\mathbb{R}^2$。
    • 通过原点的直线。
    • 零向量 $\mathbf{0}$。
  • $\mathbb{R}^3$ 的子空间：
    • 整个 $\mathbb{R}^3$。
    • 通过原点的平面。
    • 通过原点的直线。
    • 零向量 $\mathbf{0}$。

4. 列空间（Column Space）

• 定义：矩阵 $A$ 的列空间 $C(A)$ 是 $A$ 的所有列向量的线性组合构成的向量空间。
• 示例：
  • 矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$$

• 列空间：所有形如 $c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ 的向量构成的集合。
• 几何意义：在 $\mathbb{R}^3$ 中，列空间是一个平面。

四、总结

• 置换矩阵：
  • 置换矩阵 $P$ 用于行交换。
  • 置换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
• 转置矩阵：
  • 转置矩阵 $A^T$ 是将 $A$ 的行变为列，列变为行。
  • 对称矩阵满足 $A^T = A$。
• 向量空间：
  • 向量空间是一组向量的集合，满足加法和数乘的封闭性。
  • 子空间是向量空间的一个子集，满足向量空间的所有性质。
• 列空间：
  • 矩阵 $A$ 的列空间 $C(A)$ 是 $A$ 的所有列向量的线性组合构成的向量空间。