【MIT线性代数】【lec6】列空间与零空间

线性代数笔记：第六讲 - 向量空间与子空间

1. 向量空间的定义

• 定义：向量空间是一组向量，满足以下两个条件：
  • 可以将其中任意两个向量相加，结果仍在该空间内。
  • 可以将其中任意一个向量乘以任意常数，结果仍在该空间内。
• 线性组合：上述两个条件可以合并为：任意线性组合 $cV + dW$ 仍在该空间内。

2. 向量空间的例子

• 三维空间 $\mathbb{R}^3$：整个三维空间是一个向量空间，因为任意两个向量相加或乘以常数后，结果仍在 $\mathbb{R}^3$ 内。
• 子空间（Subspace）：子空间是向量空间内的一个子集，且自身也是一个向量空间。
  • 平面：通过原点的平面是一个子空间，因为任意两个平面上的向量相加或乘以常数后，结果仍在平面上。
  • 直线：通过原点的直线也是一个子空间，同样满足上述条件。

3. 子空间的并集与交集

• 并集：两个子空间 $P$ 和 $L$ 的并集 $P \cup L$ 不一定是子空间，因为可能不满足向量加法的封闭性。
• 交集：两个子空间 $S$ 和 $T$ 的交集 $S \cap T$ 仍然是一个子空间，因为交集内的向量同时满足 $S$ 和 $T$ 的条件。

4. 矩阵的列空间（Column Space）

• 定义：矩阵 $A$ 的列空间是其所有列向量的线性组合构成的向量空间。
• 例子：
  • 给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$。
  • 其列空间是 $\mathbb{R}^4$ 的一个子空间，因为矩阵的列向量是四维向量。
  • 列空间包含所有形如 $c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ 的向量。

5. 线性方程组的解与列空间

• 问题：对于方程 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$，哪些 $\mathbf{b}$ 使得方程有解？
• 结论：方程 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有解当且仅当 $\mathbf{b}$ 是矩阵 $A$ 的列空间中的向量。
• 例子：
  • 对于矩阵 $A$ 的列空间，可以找到一些特定的 $\mathbf{b}$ 使得方程有解，例如 $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ 或 $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

6. 列空间的维度

• 线性无关性：矩阵的列向量可能线性相关，即某些列向量可以表示为其他列向量的线性组合。
• 例子：
  • 在矩阵 $A$ 中，第三列 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ 是前两列的和，因此可以丢弃第三列而不改变列空间。
  • 因此，矩阵 $A$ 的列空间是一个二维子空间。

7. 矩阵的零空间（Null Space）

• 定义：矩阵 $A$ 的零空间是所有满足 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的向量 $\mathbf{x}$ 构成的向量空间。
• 例子：
  • 对于矩阵 $A$，零空间是 $\mathbb{R}^3$ 的一个子空间。
  • 通过观察可以发现，向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 满足 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$。
  • 零空间包含所有形如 $c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 的向量，其中 $c$ 是任意常数。
  • 零空间是一个通过原点的直线。

8. 零空间的性质

• 验证：零空间满足向量空间的定义，因为：
  • 如果 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 在零空间中，则 $A(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$。
  • 如果 $\mathbf{v}$ 在零空间中，则 $A(c\mathbf{v}) = c(A\mathbf{v}) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}$。

9. 总结

• 列空间：矩阵 $A$ 的列空间是其列向量的线性组合构成的子空间，决定了方程 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的可解性。
• 零空间：矩阵 $A$ 的零空间是所有满足 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的向量构成的子空间，反映了矩阵的线性相关性。
• 子空间的构造：可以通过线性组合或方程组的解来构造子空间。