【MIT线性代数】【lec7】求解ax=0以及子空间

线性代数笔记 - 第七讲

一、课程主题

本次课程主要探讨了线性代数中的向量空间，特别是矩阵的零空间（Null Space）和列空间（Column Space），并详细介绍了如何描述和计算这些空间中的向量。

二、矩阵的零空间

（一）零空间的定义

矩阵 $A$ 的零空间是指所有满足 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的向量 $\mathbf{x}$ 的集合。零空间是矩阵 $A$ 的一个重要性质，它反映了矩阵的线性相关性。

（二）计算零空间的算法

1. 消元法（Elimination）
   • 步骤：
     1. 对矩阵 $A$ 进行行消元操作，将其化为行阶梯形式（Echelon Form）。
     2. 在消元过程中，保持零空间不变，但列空间可能会改变。
     3. 确定矩阵的主元（Pivots）和主元列（Pivot Columns），其余列为自由列（Free Columns）。
     4. 自由列对应的变量称为自由变量（Free Variables），主元列对应的变量称为主元变量（Pivot Variables）。
     5. 通过回代（Back Substitution）求解主元变量，得到零空间的特解（Special Solutions）。
   • 示例矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$$

 - **消元过程**：
   1. 第一步消元：从第二行减去第一行的两倍，得到：

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$$

   2. 第二步消元：从第三行减去第二行的两倍，得到：

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

 - **结果**：矩阵 $A$ 的行阶梯形式为：

$$U = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

   - 主元列：第1列和第3列。
   - 自由列：第2列和第4列。
   - 主元变量：$x_1$ 和 $x_3$。
   - 自由变量：$x_2$ 和 $x_4$。

2. 特解的求解
   • 方法：给自由变量赋予特定值（如0和1），通过回代求解主元变量。
   • 示例：
     • 设 $x_2 = 1$，$x_4 = 0$：
       • 从 $2x_3 + 4x_4 = 0$ 得到 $x_3 = 0$。
       • 从 $x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0$ 得到 $x_1 = -2$。
       • 特解1：$\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。
     • 设 $x_2 = 0$，$x_4 = 1$：
       • 从 $2x_3 + 4x_4 = 0$ 得到 $x_3 = -2$。
       • 从 $x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0$ 得到 $x_1 = 2$。
       • 特解2：$\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
   • 零空间的描述：零空间包含所有特解的线性组合，即：

$$\text{Null Space} = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$$

（三）矩阵的秩（Rank）

• 定义：矩阵的秩 $r$ 是矩阵中主元的数量，即主元列的数量。
• 示例：上述矩阵 $A$ 的秩为2。
• 秩的意义：
  • 秩反映了矩阵的线性独立性。
  • 对于 $m \times n$ 矩阵 $A$，秩 $r$ 满足 $r \leq \min(m, n)$。
  • 自由变量的数量为 $n - r$。

（四）简化行阶梯形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）

• 定义：通过进一步消元，使矩阵的主元上方和下方均为零，并将主元归一化为1。
• 示例：
  • 从 $U$ 继续消元：

$$U = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

- 从第一行减去第二行的两倍：

$$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

- 将第二行除以2：

$$R = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

- 最终简化为：

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

• 特点：
  • 主元列形成单位矩阵 $I$。
  • 自由列形成矩阵 $F$。
  • 零空间的特解可以直接从 $F$ 中读出。

（五）零空间矩阵（Null Space Matrix）

• 定义：零空间矩阵 $N$ 的列是零空间的特解。
• 构造方法：
  • 自由变量部分赋值为单位矩阵 $I$。
  • 主元变量部分为 $-F$。
• 示例：
  • 对于矩阵 $R$：

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

- 零空间矩阵 $N$ 为：

$$N = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

- 验证：$R \times N = 0$。

三、总结

本次课程通过具体的矩阵示例，详细介绍了如何通过消元法计算矩阵的零空间，并引入了矩阵的秩和简化行阶梯形式的概念。通过这些方法，可以系统地描述矩阵零空间中的所有向量，并构造零空间矩阵。这些内容为后续学习线性代数中的其他主题（如线性方程组的求解）奠定了基础。