【MIT线性代数】【lec8】求解ax=b以及行化简

线性代数笔记 - 第八讲：解线性方程组 Ax=b

一、课程主题

本次课程的目标是完全解决线性方程组 $Ax = b$ 的问题，包括判断方程组是否有解，以及如何找到所有解。

二、解线性方程组的步骤

（一）判断方程组是否有解

1. 消元法（Elimination）

   • 对增广矩阵 $[A|b]$ 进行行消元操作，判断是否会出现矛盾的方程（如 $0 = c$，其中 $c \neq 0$）。
   • 如果出现矛盾方程，则方程组无解；否则，方程组有解。

2. 条件：$b$ 必须在 $A$ 的列空间中

   • 方程组 $Ax = b$ 有解的条件是 $b$ 必须是 $A$ 的列的线性组合，即 $b$ 在 $A$ 的列空间中。
   • 如果某些行的线性组合为零行，则 $b$ 的对应组合也必须为零。

（二）求解方程组

1. 找到一个特解（Particular Solution）
   • 方法：将所有自由变量设为零，解出主元变量。
   • 示例：
     • 给定矩阵 $A$ 和向量 $b$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$$

 - 增广矩阵 $[A|b]$：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & | & 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & | & 5 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & | & 6 \end{bmatrix}$$

 - 消元后得到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 & | & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$$

 - 自由变量：$x_2, x_4$；主元变量：$x_1, x_3$。
 - 设 $x_2 = 0, x_4 = 0$，解方程：

$$\begin{cases} x_1 + 2x_3 = 1 \\ 2x_3 = 3 \end{cases}$$

 - 解得：$x_3 = \frac{3}{2}$，$x_1 = 1 - 2 \times \frac{3}{2} = -2$。
 - 特解：$\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$。

2. 找到零空间的特解（Null Space Solutions）
   • 方法：解 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$，找到零空间的基向量。
   • 示例：
     • 零空间的特解：

$$\mathbf{x}_n = c_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

 - 其中，$c_1$ 和 $c_2$ 是任意常数。

3. 完整解（Complete Solution）
   • 完整解是特解与零空间的线性组合：

$$\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

三、矩阵的秩（Rank）与解的性质

1. 秩的定义

   • 矩阵的秩 $r$ 是矩阵中主元的数量。
   • 秩 $r$ 满足 $r \leq \min(m, n)$，其中 $m$ 是行数，$n$ 是列数。

2. 秩与解的关系

   • 满列秩（Full Column Rank, $r = n$）：
     • 每列都有主元，无自由变量。
     • 零空间只有零向量。
     • 方程组 $Ax = b$ 有唯一解（如果存在）。
   • 满行秩（Full Row Rank, $r = m$）：
     • 每行都有主元，无零行。
     • 方程组 $Ax = b$ 有解（可能有多个解）。
   • 方阵且满秩（Square Matrix, $r = m = n$）：
     • 矩阵可逆，零空间只有零向量。
     • 方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
   • 秩小于 $m$ 和 $n$（$r < m, r < n$）：
     • 方程组可能无解或有无穷多解。

四、总结

本次课程通过具体的矩阵和方程组示例，详细介绍了如何判断线性方程组 $Ax = b$ 是否有解，并通过消元法找到特解和零空间的特解，从而得到完整解。矩阵的秩是判断解的性质的关键，它决定了方程组是否有解、解的唯一性以及零空间的结构。这些内容为后续学习线性代数中的矩阵理论和应用奠定了基础。