线性代数笔记 - 第九讲：线性独立性、基和维度

一、课程主题

本次课程的核心内容是线性代数中的几个重要概念：线性独立性（Linear Independence）、向量张成空间（Span）、基（Basis） 和 维度（Dimension）。这些概念将为后续学习奠定基础。

一组向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ 是线性独立的（Linearly Independent），如果它们的线性组合等于零向量的唯一解是零系数，即：

c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}

只有当 $c_1 = c_2 = \dots = c_n = 0$ 时成立。否则，这些向量是线性相关的（Linearly Dependent）。

矩阵方法：将向量作为矩阵的列向量，通过行化简（Row Reduction）判断是否存在非零解。
- 如果矩阵的零空间（Null Space）中只有零向量，则向量组线性独立。
- 如果零空间中存在非零向量，则向量组线性相关。
直观理解：如果某个向量可以表示为其他向量的线性组合，则这些向量线性相关。

向量 $\mathbf{v}_1$ 和 $2\mathbf{v}_1$ ：
- 这两个向量线性相关，因为 $2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$ 。
向量 $\mathbf{v}_1$ 和零向量：
- 这两个向量线性相关，因为零向量总是线性相关的。
平面上的三个向量：
- 在二维空间中，任何三个向量必定线性相关，因为它们一定共面。

如果矩阵 $A$ 的列数 $n$ 大于行数 $m$ （即 $n > m$ ），则 $A$ 的零空间中必定存在非零向量，即列向量线性相关。

一组向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ 张成一个空间（Span a Space），是指所有这些向量的线性组合构成的集合。用数学语言表示为：

\text{Span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n) = \{ c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \dots + c_n \mathbf{v}_n \mid c_i \in \mathbb{R} \}

矩阵的列空间（Column Space）：
- 矩阵的列向量张成的空间称为列空间。
- 例如，矩阵 $A$ 的列向量张成的空间是所有 $A\mathbf{x}$ 的集合。

一组向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_d$ 是一个基（Basis），如果它们满足以下两个条件：

标准基：
- 在 $\mathbb{R}^3$ 中，标准基是 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ， $\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ， $\mathbf{e}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。
其他基：
- $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ ， $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$ ， $\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 8 \end{bmatrix}$ 也是 $\mathbb{R}^3$ 的一个基。

矩阵方法：将向量作为矩阵的列向量，通过行化简判断矩阵是否可逆。
- 如果矩阵可逆（即所有列向量都是主元列），则这些向量构成基。
- 如果矩阵不可逆（即存在自由变量），则这些向量不构成基。

向量空间的维度（Dimension） 是基中向量的数量，记作 $\text{dim}(V)$ 。

矩阵的秩：
- 矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 的秩为 2，因为只有两列是主元列。
- 列空间的维度为 2，即 $\text{dim}(\text{Col}(A)) = 2$ 。
- 零空间的维度为 $n - r = 3 - 2 = 1$ 。