【MIT线性代数】【exam1】

18.065C 第一单元考试解答

问题 1 (24 分)

这个问题是关于一个 $m \times n$ 矩阵 $A$，其中：

$$A x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 无解，且 } A x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \text{ 有唯一解。}$$

(a) 给出关于 $m$、$n$ 和矩阵 $A$ 的秩 $r$ 的所有可能信息。
(b) 求解 $A x = 0$ 的所有解，并解释你的答案。
© 写出一个符合 (a) 部分描述的矩阵 $A$ 的例子。

解答

(a) $A x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 有一个解 $\Rightarrow N(A) = \{0\}$，所以 $r = n$。（另外，$m = 3$，因为 $A x \in \mathbb{R}^3$）。
$A x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 无解 $\Rightarrow C(A) \neq \mathbb{R}^3$，所以 $r < m$。

存在两种可能性：

$$m = 3, \quad r = n = 1 \quad 或 \quad m = 3, \quad r = n = 2$$

(b) 因为 $N(A) = \{0\}$（由于 $A x = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 有一个解），所以 $A x = 0$ 的唯一解显然是 $x = 0$。
（可以是 $x = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 或 $x = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，取决于 $n = 1$ 或 $n = 2$。）

© $A$ 可以是 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 或 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$（还有更多可能性）。

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问题 2 (24 分)

一个 $3 \times 3$ 矩阵 $A$ 通过以下三个行操作（按顺序）化为单位矩阵 $I$：
$E_{21}$：从第 2 行减去 4 倍第 1 行。
$E_{31}$：从第 3 行减去 3 倍第 1 行。
$E_{23}$：从第 2 行减去第 3 行。

(a) 用 $E$ 表示逆矩阵 $A^{-1}$，然后计算 $A^{-1}$。
(b) 原始矩阵 $A$ 是什么？
© 在 $A = LU$ 中，下三角因子 $L$ 是什么？

解答

(a) 将这三个操作依次作用于 $I$，即 $A^{-1} = E_{23} E_{31} E_{21}$：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = A^{-1}$$

(b) 将逆操作按相反顺序作用于 $I$，即 $A = E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{23}^{-1}$：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = A$$

验证：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

© $L = \begin{bmatrix} 1 & & \\ 4 & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ 3 & & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

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问题 3 (28 分)

这个 $3 \times 4$ 矩阵依赖于 $c$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 3 & c & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

(a) 对每个 $c$ 找到列空间 $C(A)$ 的一个基。
(b) 对每个 $c$ 找到零空间 $N(A)$ 的一个基。
© 对每个 $c$ 找到 $A x = \begin{bmatrix} 1 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}$ 的完整解 $x$。

解答

(a) 消元得到：$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & c-3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$，分为两种情况：
若 $c \neq 3$，$c-3$ 是主元，$U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & c-3 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，
所以 $C(A)$ 的基是 $A$ 的前三列：$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ c \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$。
若 $c = 3$，$c-3 = 0$，$U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow R = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$，
所以取 $A$ 的第 1 和第 3 列作为 $C(A)$ 的基：$\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$。

(b) 若 $c \neq 3$，特殊解给出 $N(A) = \left\{ x_4 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。
若 $c = 3$，特殊解给出 $N(A) = \left\{ x_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。

© 通过观察，$x_p = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ 是一个特解（其他正确答案也可以）。
若 $c \neq 3$，完整解为：$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
若 $c = 3$，完整解为：$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

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问题 4 (24 分)

(a) 如果 $A$ 是一个 $3 \times 5$ 矩阵，关于 $A$ 的零空间你有哪些信息？
(b) 假设对 $A$ 的行操作得到这个矩阵 $R = \text{rref}(A)$：

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

写出关于 $A$ 列的所有已知信息。
© 在所有 $3 \times 3$ 矩阵的向量空间 $M$（可以称为矩阵空间）中，所有可能的行简化阶梯形 $R$ 所张成的子空间 $S$ 是什么？

解答

(a) $N(A)$ 的维数至少为 2（最多为 5）。

(b) $A$ 的第 1、4、5 列构成 $C(A)$ 的一个基。
第 2 列是第 1 列的 4 倍；第 3 列是 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

© $S = \left\{ \begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{bmatrix} \right\}$，即上三角矩阵的集合。
（一个由六个阶梯形矩阵构成的基是：

$$\left\{ \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 0 & \\ & & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & & \\ & 1 & \\ & & 0 \end{bmatrix} \right\}$$

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18.08SC 线性代数
2011年秋季
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